8х²-2х-1<0
Чтобы решить неравенство \( 8x^2 - 2x - 1 < 0 \), начнём с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \( 8x^2 - 2x - 1 = 0 \).
- Нахождение корней квадратного уравнения:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 8 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \).
Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 \pm 6}{16} \]
Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -\frac{1}{4} \).
- Анализ знака:
Поскольку у нас есть квадратный трехчлен, мы можем определить его знак на интервалах, определенных корнями. Корни делят ось \( x \) на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \)
- \( (-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения \( 8x^2 - 2x - 1 \) на каждом из этих интервалов.
Для \( x < -\frac{1}{4} \) (например, \( x = -1 \)): \[ 8(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 8 + 2 - 1 = 9 > 0 \]
Для \( -\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 8(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \]
Для \( x > \frac{1}{2} \) (например, \( x = 1 \)): \[ 8(1)^2 - 2(1) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \]
- Вывод:
Таким образом, \( 8x^2 - 2x - 1 < 0 \) выполняется на интервале: \[ \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \]
Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \).
