(2^5√-2)^5

Чтобы решить выражение \((2^5 \sqrt{-2})^5\), начнем по порядку.

1. Рассмотрим \(\sqrt{-2}\). Это можно представить как \(\sqrt{2} \cdot i\), где \(i\) - мнимая единица, такая что \(i^2 = -1\). Таким образом, \(\sqrt{-2} = \sqrt{2} \cdot i\).

2. Теперь подставим это в исходное выражение: \[ (2^5 \sqrt{-2})^5 = (2^5 \cdot \sqrt{2} \cdot i)^5 \]

3. Упростим выражение: \[ 2^5 = 32, \quad \text{поэтому:} \quad (32 \cdot \sqrt{2} \cdot i)^5 \]

4. Теперь давайте изменим \(\sqrt{2}\) в степени: \[ \sqrt{2} = 2^{1/2} \] Тогда: \[ 32 \cdot \sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5 + 1/2} = 2^{10/2 + 1/2} = 2^{11/2} \]

5. Теперь у нас есть \( (2^{11/2} \cdot i)^5 \): По свойству степеней это равно: \[ (2^{11/2})^5 \cdot i^5 = 2^{55/2} \cdot i^5 \]

6. Теперь посчитаем \(i^5\). \(i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i\), так как \(i^4 = 1\).

7. В конечном итоге мы получаем: \[ 2^{55/2} \cdot i \]

Таким образом, \( (2^5 \sqrt{-2})^5 = 2^{55/2} \cdot i \).