А) решите уравнение б) найдите все корни принадлежащие промежутку а) (х+0,5) (х²-9) =(2х+1) (х+3)² б) [-3; -1/3]
Чтобы решить уравнение \((x + 0.5)(x^2 - 9) = (2x + 1)(x + 3)^2\), давайте сначала упростим обе части.
Раскроем скобки.
Левая часть: \[ (x + 0.5)(x^2 - 9) = x^3 - 9x + 0.5x^2 - 4.5 \] Упрощаем: \[ x^3 + 0.5x^2 - 9x - 4.5 \]
Правая часть: \[ (2x + 1)(x + 3)^2 = (2x + 1)(x^2 + 6x + 9) = 2x^3 + 12x^2 + 18x + x^2 + 6x + 9 \] Упрощаем: \[ 2x^3 + 13x^2 + 24x + 9 \]
Установим равенство: Теперь у нас есть: \[ x^3 + 0.5x^2 - 9x - 4.5 = 2x^3 + 13x^2 + 24x + 9 \]
Переносим все в одну сторону: \[ x^3 + 0.5x^2 - 9x - 4.5 - 2x^3 - 13x^2 - 24x - 9 = 0 \] Упрощаем: \[ -x^3 - 12.5x^2 - 33x - 13.5 = 0 \] Или: \[ x^3 + 12.5x^2 + 33x + 13.5 = 0 \]
Поиск корней: Теперь применим метод проб для поиска корней. Явно видим, что \(x = -3\) может быть корнем (подставим и проверим): \[ (-3)^3 + 12.5(-3)^2 + 33(-3) + 13.5 = -27 + 112.5 - 99 + 13.5 = 0 \] Корень найден: \(x = -3\).
Теперь делим многочлен на \((x + 3)\) с помощью деления многочленов или synthetic division.
Получаем: \[ x^3 + 12.5x^2 + 33x + 13.5 = (x + 3)(x^2 + 9.5x + 4.5) \]
Теперь находим корни второго многочлена \(x^2 + 9.5x + 4.5 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 9.5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4.5 = 90.25 - 18 = 72.25 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9.5 \pm \sqrt{72.25}}{2} \] \(\sqrt{72.25} \approx 8.5\). Подставляем: \[ x_1 = \frac{-9.5 + 8.5}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \] \[ x_2 = \frac{-9.5 - 8.5}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]
Итак, корни уравнения: Все корни: \(x = -3\), \(x = -0.5\), \(x = -9\).
Найдем корни, принадлежащие промежутку \([-3; -1/3]\): Из найденных корней \(-3\) и \(-0.5\) попадают в указанный промежуток.
Таким образом, окончательный ответ:
а) Корни: \(x = -3\), \(x = -0.5\), \(x = -9\).
б) Корни, принадлежащие промежутку \([-3; -1/3]\): \(x = -3\), \(x = -0.5\).
