найдите производную: a) 3x^2-x^3 b) 4x^2+6x+3 d) (3x^2+1)(3x^2-1) g) x/1+x^2 решите 4 задачки, 🥰, понятно, последовательно,просто и легко🌠

Конечно! Давайте решим каждую из этих задач по нахождению производной по порядку.

a) \( 3x^2 - x^3 \)

Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования: \( (x^n)' = nx^{n-1} \).

1. \( (3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x \)
2. \( (-x^3)' = -3x^{3-1} = -3x^2 \)

Теперь соберем результат:

\[ f'(x) = 6x - 3x^2 \]

b) \( 4x^2 + 6x + 3 \)

1. \( (4x^2)' = 4 \cdot 2x^{2-1} = 8x \)
2. \( (6x)' = 6 \)
3. Константа \( 3 \) имеет производную \( 0 \).

Теперь соберем результат:

\[ f'(x) = 8x + 6 \]

c) \( (3x^2 + 1)(3x^2 - 1) \)

Для этой задачи используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = (3x^2 + 1) \) и \( v = (3x^2 - 1) \).

1. \( u' = (3x^2 + 1)' = 6x \)
2. \( v' = (3x^2 - 1)' = 6x \)

Теперь подставим полученные производные:

\[ f'(x) = u'v + uv' = (6x)(3x^2 - 1) + (3x^2 + 1)(6x) \]

Упростим это:

\[ f'(x) = 6x(3x^2 - 1) + 6x(3x^2 + 1) = 6x(3x^2 - 1 + 3x^2 + 1) = 6x(6x^2) = 36x^3 \]

d) \( \frac{x}{1+x^2} \)

Для нахождения производной дробной функции используем правило частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. \( u = x \) и \( v = 1 + x^2 \)
2. \( u' = 1 \)
3. \( v' = (1 + x^2)' = 2x \)

Теперь подставим в формулу:

\[ f'(x) = \frac{1(1 + x^2) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \]

Итоги

1. \( f'(x) = 6x - 3x^2 \)
2. \( f'(x) = 8x + 6 \)
3. \( f'(x) = 36x^3 \)
4. \( f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)

Если у вас есть вопросы по решению или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь обращаться! 🌟