|x|+|x-1|+|x-2|=2

Чтобы решить уравнение |x| + |x-1| + |x-2| = 2, начнем с определения значений x, которые влияют на знак модулей. Мы рассмотрим разные интервал, где меняется знак внутри модулей. В данном случае важные точки - это 0, 1 и 2. Это разбивает числовую прямую на четыре интервала:

1. \( x < 0 \)
2. \( 0 \leq x < 1 \)
3. \( 1 \leq x < 2 \)
4. \( x \geq 2 \)

Теперь мы проанализируем каждый из этих интервалов по отдельности.

1. Интервал: \( x < 0 \)

В этом интервале все модули отрицательны: \[ |x| = -x, \quad |x-1| = -(x-1) = -x + 1, \quad |x-2| = -(x-2) = -x + 2 \] Подставим в уравнение: \[ -x + (-x + 1) + (-x + 2) = 2 \] Упрощаем: \[ -3x + 3 = 2 \] \[ -3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \] Однако, \( \frac{1}{3} \) не принадлежит интервалу \( x < 0 \).

2. Интервал: \( 0 \leq x < 1 \)

Здесь мы имеем: \[ |x| = x, \quad |x-1| = -(x-1) = -x + 1, \quad |x-2| = -(x-2) = -x + 2 \] Подставим в уравнение: \[ x + (-x + 1) + (-x + 2) = 2 \] Упрощаем: \[ 0x + 3 = 2 \] Это равенство неверно, следовательно, в этом интервале решений нет.

3. Интервал: \( 1 \leq x < 2 \)

Здесь: \[ |x| = x, \quad |x-1| = x - 1, \quad |x-2| = -(x-2) = -x + 2 \] Подставим в уравнение: \[ x + (x - 1) + (-x + 2) = 2 \] Упрощаем: \[ x + x - 1 - x + 2 = 2 \\ x + 1 = 2 \\ x = 1 \] Это решение находится в нашем интервале.

4. Интервал: \( x \geq 2 \)

В этом интервале все модули положительны: \[ |x| = x, \quad |x-1| = x - 1, \quad |x-2| = x - 2 \] Подставим в уравнение: \[ x + (x - 1) + (x - 2) = 2 \] Упрощаем: \[ 3x - 3 = 2 \\ 3x = 5 \\ x = \frac{5}{3} \] Это значение также попадает под условие \( x \geq 2 \).

Результаты

Итак, у нас есть два решения:

1. \( x = 1 \)
2. \( x = \frac{5}{3} \)

Проверим их: Для \( x = 1: \quad |1| + |0| + |-1| = 1 + 0 + 1 = 2 \) (верно). Для \( x = \frac{5}{3}: \quad |\frac{5}{3}| + |\frac{2}{3}| + |\frac{1}{3}| = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 2 \) (верно).

Таким образом, окончательные решения уравнения: \( x = 1 \) и \( x = \frac{5}{3} \).