Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=2, AM - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов AB и AM.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) в равностороннем треугольнике ABC, начнем с определения необходимых элементов.

1. Определим координаты точек:

   • Пусть точка A находится в начале координат: \( A(0, 0) \).
   • Точка B будет на оси X: \( B(2, 0) \).
   • Для нахождения координат точки C, мы воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Высота треугольника делит основание пополам и проходит через C. Координаты C можно найти следующим образом:
     • Точка C будет на высоте \( h = \sqrt{AB^2 - \left( \frac{AB}{2} \right)^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \).
     • Координаты C равны \( C(1, \sqrt{3}) \).

2. Найдем точку M (середина отрезка AB):

   • Координаты точки M: \[ M\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(1, 0). \]

3. Найдём векторы:

   • Вектор \( \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0) \).
   • Вектор \( \vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \).

4. Скалярное произведение векторов:

   • Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) вычисляется по формуле: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2. \]
   • Подставим наши векторы: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AM} = (2, 0) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) равно 2.