Вы совершенно правильно подметили важность анализа корней слов. Давайте рассмотрим каждый из предложенных вариантов.
отче — корень "отч", который связан с понятием родства, но не имеет прямого отношения к сопоставлению со словом "чрез".
просити — корень "прос", который связан с просьбой или желанием, что также не отражает явление, аналогичное "чрез".
врата — корень "рат", который обозначает вход, двери. Хотя можно провести некоторые параллели с переходом через что-то, это не совсем соответствует корню "чрез".
княже — корень "княж", обозначающий правителя или власть. В этом случае также нет прямого соответствия с "чрез".
Из всех предложенных слов, самым близким будет слово врата, так как оно олицетворяет понятие проемов или переходов, что сопоставимо с «через». Однако важно помнить, что ни одно из указанных слов не является прямым аналогом в языке.
Если вам нужно больше материалов или примеров для анализа, я с удовольствием помогу!