а) решите уравнение б) найдите все корни принадлежащие промежутку а) (х-1) (х-2) ³+(1-х) (х-3) ³=19(х-1) б) [0;2√6]
Чтобы решить данное уравнение и найти корни, давайте разберем его по частям.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Давайте начнем с левой части уравнения:
\[ (х-1)(х-2)^3 + (1-x)(х-3)^3 = 19(х-1) \]
Первым делом, заметим, что \( (1-x) = -(x-1) \). Подставим это в уравнение:
\[ (х-1)(х-2)^3 - (x-1)(х-3)^3 = 19(х-1) \]
Теперь, если \( х-1 \neq 0 \) (т.е. \( х \neq 1 \)), мы можем разделить обе стороны уравнения на \( (х-1) \):
\[ (х-2)^3 - (х-3)^3 = 19 \]
Шаг 2: Применение формулы разности кубов
Для упростить левую часть, используем формулу разности кубов:
\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]
Обозначим \( a = (х-2) \) и \( b = (х-3) \):
\[ a - b = (х-2) - (х-3) = 1 \]
Тогда у нас:
\[ (х-2)^3 - (х-3)^3 = 1 \cdot ((х-2)^2 + (х-2)(х-3) + (х-3)^2) \]
Теперь необходимо вычислить каждую часть:
- \( (х-2)^2 = х^2 - 4х + 4 \)
- \( (х-3)^2 = х^2 - 6х + 9 \)
- \( (х-2)(х-3) = х^2 - 5х + 6 \)
Теперь можем сложить их:
\[ (х-2)^2 + (х-3)^2 + (х-2)(х-3) = (х^2 - 4х + 4) + (х^2 - 6х + 9) + (х^2 - 5х + 6) \] \[ = 3х^2 - 15х + 19 \]
Таким образом, у нас получается:
\[ 3х^2 - 15х + 19 = 19 \]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Теперь упростим:
\[ 3х^2 - 15х + 19 - 19 = 0 \implies 3х^2 - 15х = 0 \]
Выносим общий множитель:
\[ 3х(х - 5) = 0 \]
Шаг 4: Нахождение корней
Таким образом, получается два корня:
- \( х = 0 \)
- \( х = 5 \)
Шаг 5: Поиск корней в заданном промежутке
Теперь нам нужно найти корни, принадлежащие промежутку \([0;2\sqrt{6}]\).
Выражение \(2\sqrt{6} \approx 4.9\). Следовательно, из двух найденных корней \(0\) и \(5\), только корень \(0\) принадлежит данному промежутку.
Ответ
а) Корни уравнения: \( х = 0 \) и \( х = 5 \)
б) Корень, принадлежащий промежутку \([0;2\sqrt{6}]\): \( х = 0 \)
