Найти первую и вторую производные формулы f(x) =9tg(sin5x)

Чтобы найти первую и вторую производные функции \( f(x) = 9 \tan(\sin(5x)) \), необходимо использовать правила дифференцирования, такие как правило цепи и производные тригонометрических функций.

Первая производная

Начнем с нахождения первой производной \( f'(x) \).

1. У нас есть константа 9, которая просто умножается на производную функции тангенса.
2. Производная \( \tan(u) \) равна \( \sec^2(u) \cdot u' \), где \( u = \sin(5x) \).
3. Теперь найдем производную \( u = \sin(5x) \). Для этого также используем правило цепи:
   • Производная \( \sin(kx) \) равна \( k \cos(kx) \).
   • В нашем случае \( k = 5 \), следовательно, \( u' = 5 \cos(5x) \).

Теперь подставляем все это в формулу для производной:

\[ f'(x) = 9 \cdot \sec^2(\sin(5x)) \cdot (5 \cos(5x)) \]

Таким образом, первая производная:

\[ f'(x) = 45 \sec^2(\sin(5x)) \cos(5x) \]

Вторая производная

Теперь перейдем ко второй производной \( f''(x) \). Для этого нам нужно дифференцировать \( f'(x) \).

Используем правило произведения, так как \( f'(x) \) состоит из двух частей: \( 45 \sec^2(\sin(5x)) \) и \( \cos(5x) \).

Обозначим:

• \( A = 45 \sec^2(\sin(5x)) \)
• \( B = \cos(5x) \)

Тогда по правилу произведения:

\[ f''(x) = A'B + AB' \]

Теперь найдем \( A' \) и \( B' \).

Находим \( A' \):

1. \( A = 45 \sec^2(\sin(5x)) \)
2. Нужно использовать правило цепи для производной \( \sec^2(u) \): \[ A' = 45 \cdot 2 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cdot (\sin(5x))' \]
3. Из предыдущего вычисления мы знаем, что \((\sin(5x))' = 5 \cos(5x)\), следовательно: \[ A' = 90 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cdot 5 \cos(5x) = 450 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cos(5x) \]

Находим \( B' \):

1. \( B = \cos(5x) \)
2. \((\cos(kx))' = -k \sin(kx)\), в нашем случае: \[ B' = -5 \sin(5x) \]

Теперь подставим все в выражение для \( f''(x) \):

\[ f''(x) = (450 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cos(5x)) \cdot \cos(5x) + 45 \sec^2(\sin(5x)) \cdot (-5 \sin(5x)) \]

Производная будет выглядеть следующим образом:

\[ f''(x) = 450 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cos^2(5x) - 225 \sec^2(\sin(5x)) \sin(5x) \]

Ответ:

• Первая производная: \( f'(x) = 45 \sec^2(\sin(5x)) \cos(5x) \)
• Вторая производная: \( f''(x) = 450 \sec^2(\sin(5x)) \tan(\sin(5x)) \cos^2(5x) - 225 \sec^2(\sin(5x)) \sin(5x) \)

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь в других разделах математики, не стесняйтесь обращаться!