сандар тізбегінің заңдылығын анықтап оның n-ші мүшесінің формуласын жазыңдар 0:3:8:15:24...;xn;...;xn=? an=?
Чтобы определить закономерность в последовательности чисел 0, 3, 8, 15, 24 и найти формулу для n-го члена (an), давайте рассмотрим разности между членами последовательности:
- Разности:
- 3 - 0 = 3
- 8 - 3 = 5
- 15 - 8 = 7
- 24 - 15 = 9
Эти разности образуют последовательность: 3, 5, 7, 9, …
- Далее проанализируем разности второй степени:
- 5 - 3 = 2
- 7 - 5 = 2
- 9 - 7 = 2
Разности второй степени постоянны и равны 2, что указывает на то, что наша последовательность является квадратичной. Таким образом, можно предположить, что n-й член последовательности имеет вид:
\[ a_n = An^2 + Bn + C \]
Чтобы найти коэффициенты A, B и C, подставим некоторые значения:
- Для n = 1: \( a_1 = 0 \) → \( A(1^2) + B(1) + C = 0 \)
- Для n = 2: \( a_2 = 3 \) → \( A(2^2) + B(2) + C = 3 \)
- Для n = 3: \( a_3 = 8 \) → \( A(3^2) + B(3) + C = 8 \)
Это приводит к системе уравнений:
- \( A + B + C = 0 \) (уравнение 1)
- \( 4A + 2B + C = 3 \) (уравнение 2)
- \( 9A + 3B + C = 8 \) (уравнение 3)
Теперь выразим C через A и B из уравнения 1:
\( C = -A - B \)
Подставим C в уравнения 2 и 3:
Для уравнения 2: \[ 4A + 2B - A - B = 3 \] \[ 3A + B = 3 \] (уравнение 4)
Для уравнения 3: \[ 9A + 3B - A - B = 8 \] \[ 8A + 2B = 8 \] \[ 4A + B = 4 \] (уравнение 5)
Теперь вычтем уравнение 4 из уравнения 5:
\[ (4A + B) - (3A + B) = 4 - 3 \] \[ A = 1 \]
Теперь подставим A = 1 в уравнение 4:
\[ 3(1) + B = 3 \] \[ B = 0 \]
Теперь найдем C:
\[ C = -1 - 0 = -1 \]
Таким образом, формула для n-го члена последовательности:
\[ a_n = n^2 - 1 \]
Это значит, что n-ый член последовательности можно выразить как:
\[ a_n = n^2 - 1 \]
Теперь мы определили закономерность и формулу для n-го члена последовательности.
