Периметр прямоугольного треугольника — 120120 дм. Его катеты относятся как 5:125:12. Найди радиус описанной около этого прямоугольного треугольника окружности.
Для решения задачи начнем с изучения информации о прямоугольном треугольнике. Дано, что периметр треугольника равен 120120 дм, а катеты относятся как 5:12. Чтобы упростить расчет, обозначим катеты как \(5x\) и \(12x\).
Согласно теореме о периметре прямоугольного треугольника, периметр \(P\) равен сумме всех сторон, то есть:
\[ P = a + b + c, \]
где \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза. В нашем случае:
\[ P = 5x + 12x + c = 120120 \text{ дм}. \]
Где \(c\) можно найти по теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{(5x)^2 + (12x)^2} = \sqrt{25x^2 + 144x^2} = \sqrt{169x^2} = 13x. \]
Теперь мы можем выразить периметр через \(x\):
\[ 5x + 12x + 13x = 120120 \implies 30x = 120120. \]
Решим это уравнение для \(x\):
\[ x = \frac{120120}{30} = 4004. \]
Теперь, подставим значение \(x\) для поиска катетов и гипотенузы:
- Первый катет: \(a = 5x = 5 \times 4004 = 20020 \text{ дм}\),
- Второй катет: \(b = 12x = 12 \times 4004 = 48048 \text{ дм}\),
- Гипотенуза: \(c = 13x = 13 \times 4004 = 52052 \text{ дм}\).
Теперь мы определим радиус описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника, по формуле:
\[ R = \frac{c}{2}. \]
Подставим значение гипотенузы:
\[ R = \frac{52052}{2} = 26026 \text{ дм}. \]
Таким образом, радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен 26026 дм.
