Периметр прямоугольного треугольника — 120 дм. Его катеты относятся как 5:12. Найди радиус описанной около этого прямоугольного треугольника окружности.

Для решения задачи начнем с того, что периметр прямоугольного треугольника равен 120 дм, а катеты относятся как 5:12. Обозначим катеты за 5x и 12x.

Сначала найдем гипотенузу треугольника. По теореме Пифагора гипотенуза \( c \) вычисляется следующим образом:

\[ c = \sqrt{(5x)^2 + (12x)^2} = \sqrt{25x^2 + 144x^2} = \sqrt{169x^2} = 13x. \]

Теперь мы можем записать уравнение для периметра треугольника:

\[ 5x + 12x + 13x = 120. \]

Объединив все катеты и гипотенузу, получаем:

\[ 30x = 120. \]

Решим это уравнение:

\[ x = \frac{120}{30} = 4. \]

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти величины катетов:

• Первый катет (5x): \[ 5x = 5 \times 4 = 20 \, \text{дм}. \]

• Второй катет (12x): \[ 12x = 12 \times 4 = 48 \, \text{дм}. \]

Гипотенуза, которую мы уже нашли, равна: \[ 13x = 13 \times 4 = 52 \, \text{дм}. \]

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, воспользуемся формулой:

\[ R = \frac{c}{2}, \]

где \( c \) — гипотенуза. Подставим значение длины гипотенузы:

\[ R = \frac{52 \, \text{дм}}{2} = 26 \, \text{дм}. \]

Таким образом, радиус описанной окружности около данного прямоугольного треугольника составляет 26 дм.