(3-х) (х²+4х+8) ≤0

Чтобы решить неравенство \( (3 - x)(x^2 + 4x + 8) \leq 0 \), начнем с анализа каждого множителя.

1. Решим неравенство \( 3 - x \leq 0 \): \[ 3 - x \leq 0 \implies x \geq 3. \]

2. Теперь рассмотрим второй множитель \( x^2 + 4x + 8 \): Это квадратный трехчлен. Для его анализа найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 = -16. \] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \( x^2 + 4x + 8 = 0 \) не имеет действительных корней, и так как коэффициент при \( x^2 \) положительный, то \( x^2 + 4x + 8 \) всегда положительно для всех \( x \).

3. Теперь комбинируем оба множителя: Мы имеем: \[ (3 - x)(x^2 + 4x + 8) \leq 0. \] Так как \( x^2 + 4x + 8 > 0 \) для всех \( x \), неравенство \( (3 - x)(x^2 + 4x + 8) \leq 0 \) выполнено, когда \( 3 - x \leq 0 \).

4. Итак, окончательное решение: Мы можем записать, \[ x \geq 3. \]

Таким образом, решение неравенства \( (3 - x)(x^2 + 4x + 8) \leq 0 \) – это:

\[ x \in [3, +\infty). \]