2.Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми – ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

Давайте обозначим страны как \( A_1, A_2 \) (две страны, подписавшие договор с шестью другими) и \( B_1, B_2, \ldots, B_8 \) (восемь оставшихся стран).

1. Страны \( A_1 \) и \( A_2 \): Каждая из этих стран подписала договора с шестью другими странами. Поскольку у нас всего 10 стран, они могут подписать договоры с 6 из 8 оставшихся стран (то есть с \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7, B_8 \)).

   Каждая из \( A_1 \) и \( A_2 \) подписывает договоры с шестью другими, это означает, что каждая из них создает 6 договоров. То есть для стран \( A_1 \) и \( A_2 \):

   • \( A_1 \): 6 договоров
   • \( A_2 \): 6 договоров

   Однако, если \( A_1 \) подписал договор с, скажем, \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6 \), то \( A_2 \) может подписать договоры с другими странами, но среди оставшихся странах \( B_7 \) и \( B_8 \) тоже. Необходимо учесть, что некоторые из этих договоров могут совпадать.

2. Страны \( B_1, B_2, \ldots, B_8 \): Каждая из них подписывает договоры с ровно пять странами.

   Это означает, что в общей сложности:

   • У нас есть 8-х стран, каждая из которых подписала по 5 договоров. Мы находим общее количество подписанных (предположительно) компонентов или отношений: \[ 8 \times 5 = 40 \]

Однако, при подсчете каждое соглашение было учтено дважды (после взаимности). Поэтому для получения окончательного числа нужно разделить это значение на 2:

\[ \text{Общее количество договоров} = \frac{40}{2} = 20 \]

Таким образом, всего было подписано 20 договоров.