Решите ,составила математическую модель ,следующую задачу. Теплоход прошёл 4 км против течения реки ,а затем прошел ещё 33 км по течению,затратив на весь путь 1 час.Найдите собственную скорость теплохода,если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой скорости и временем, что позволит нам найти собственную скорость теплохода.
Обозначим:
- \( V \) — собственная скорость теплохода (км/ч);
- \( V_t = 6.5 \) км/ч — скорость течения реки.
При движении против течения, скорость теплохода будет составлять: \[ V - V_t = V - 6.5 \text{ км/ч} \] При движении по течению, скорость теплохода составит: \[ V + V_t = V + 6.5 \text{ км/ч} \]
Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути.
Время, затраченное на движение против течения (4 км): \[ t_1 = \frac{4}{V - 6.5} \]
Время, затраченное на движение по течению (33 км): \[ t_2 = \frac{33}{V + 6.5} \]
Теперь можем записать уравнение для общего времени пути: \[ t_1 + t_2 = 1 \text{ час} \]
Подставим наши выражения для времени: \[ \frac{4}{V - 6.5} + \frac{33}{V + 6.5} = 1 \]
Умножим всё уравнение на общий знаменатель \((V - 6.5)(V + 6.5)\): \[ 4(V + 6.5) + 33(V - 6.5) = (V - 6.5)(V + 6.5) \]
Теперь раскроем скобки: \[ 4V + 26 + 33V - 214.5 = V^2 - 42.25 \]
Соберем все на одну сторону: \[ 4V + 33V + 26 - 214.5 + 42.25 - V^2 = 0 \] \[ - V^2 + 37V - 146.25 = 0 \]
Перепишем уравнение: \[ V^2 - 37V + 146.25 = 0 \]
Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146.25 = 1369 - 585 = 784 \]
Теперь найдём корни уравнения: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm 28}{2} \]
Это дает два возможных решения:
- \( V_1 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ км/ч} \)
- \( V_2 = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ км/ч} \)
Однако у нас есть дополнительное условие: собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения, что составляет 6.5 км/ч. Поэтому верное решение: \[ V = 32.5 \text{ км/ч} \]
Таким образом, собственная скорость теплохода равна 32.5 км/ч.
