к графику функции f(x)=x^3/3-x^2-x+1 проведены касательные параллельные прямой y=2x-3 Найдите сумму произведений абсцисс и ординат точек пересечения
Для начала, нам нужно найти точки, в которых касательные к графику функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1 \) параллельны прямой \( y = 2x - 3 \). Параллельность означает, что наклоны (производные) функции в этих точках равны угловому коэффициенту прямой, который равен 2.
- Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = x^2 - 2x - 1 \]
- Теперь приравняем производную к 2 для нахождения точек касания:
\[ x^2 - 2x - 1 = 2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]
Таким образом, \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
- Теперь найдем соответствующие значения функции \( f(x) \) в этих точках:
- Для \( x_1 = 3 \):
\[ f(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 + 1 = 3 - 9 - 3 + 1 = -8 \]
- Для \( x_2 = -1 \):
\[ f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - (-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 1 + 1 = \frac{1}{3} \]
Теперь у нас есть точки касания:
- \( A(3, -8) \)
- \( B(-1, \frac{1}{3}) \)
Найдём произведения абсцисс и ординат этих точек:
- Для точки \( A \):
\[ x_1 \cdot y_1 = 3 \cdot (-8) = -24 \]
- Для точки \( B \):
\[ x_2 \cdot y_2 = -1 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \]
- Теперь сложим эти произведения:
\[ -24 + \left(-\frac{1}{3}\right) = -24 - \frac{1}{3} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ -24 = -\frac{72}{3} \implies -\frac{72}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{73}{3} \]
Таким образом, сумма произведений абсцисс и ординат точек пересечения равна:
\[ \boxed{-\frac{73}{3}} \]
