интеграл(3x5-6x2+2x-7+4/x3)dx

Чтобы найти неопределённый интеграл функции \( 3x^5 - 6x^2 + 2x - 7 + \frac{4}{x^3} \), мы можем интегрировать каждый член по отдельности. Интеграл можно записать следующим образом:

\[ \int (3x^5 - 6x^2 + 2x - 7 + \frac{4}{x^3}) \, dx = \int 3x^5 \, dx - \int 6x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 7 \, dx + \int \frac{4}{x^3} \, dx. \]

Теперь найдем интеграл каждого члена:

1. \( \int 3x^5 \, dx = 3 \cdot \frac{x^6}{6} = \frac{x^6}{2} \).
2. \( \int -6x^2 \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3 \).
3. \( \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \).
4. \( \int -7 \, dx = -7x \).
5. \( \int \frac{4}{x^3} \, dx = 4 \cdot \int x^{-3} \, dx = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) = -\frac{2}{x^2} \).

Теперь объединим все результаты:

\[ \int (3x^5 - 6x^2 + 2x - 7 + \frac{4}{x^3}) \, dx = \frac{x^6}{2} - 2x^3 + x^2 - 7x - \frac{2}{x^2} + C, \]

где \( C \) — это произвольная константа интегрирования.

В результате, окончательный ответ будет выглядеть так:

\[ \int (3x^5 - 6x^2 + 2x - 7 + \frac{4}{x^3}) \, dx = \frac{x^6}{2} - 2x^3 + x^2 - 7x - \frac{2}{x^2} + C. \]