Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочкуиз имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку с вероятностью 0,5-правую.Если желаемой тапочки…
Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочкуиз имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку с вероятностью 0,5-правую.Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью меньше чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?
Для решения этой задачи давайте рассмотрим вероятность того, что Патрик не сможет найти тапочки в течение недели.
Каждый день Патрик может сгрызть одну из двух тапочек: левую или правую, с равной вероятностью 0,5. Если у него есть пара тапочек, то вероятность того, что он будет сгрызать одну из тапочек и в итоге останется без них, зависит от количества пар.
Предположим, что у нас есть \( n \) пар тапочек. Таким образом, всего у Патрика \( 2n \) тапочек (левых и правых). Каждый день он будет брать одну тапочку из законсервированной пары, и вероятность того, что он будет расстроен из-за отсутствия тапочек, равна вероятности того, что он сгрызет все тапочки в течение недели.
Если день за днем Патрик будет сгрызать тапочки, то после семи дней он сгрыжет 7 тапочек. Чтобы Патрик не расстраивался в течение этих семи дней, необходимо, чтобы число оставшихся тапочек было не меньше 1. Это означает, что он не должен сгрызть все тапочки.
Вероятность того, что он сгрызет все тапочки из \( 2n \) в течение 7 дней можно оценить следующим образом:
- Для одной тапочки это случай, что он ее сгрызет (вероятно 1) и оставшиеся \( 2n - 1\) будут рассматриваться как 1 пара.
- С каждым днем, когда он съедает тапочку, вероятность того, что не останется других пара тапочек постепенно увеличивается.
Чтобы рассчитать \( n \) так, чтобы вероятность того, что он сгрызет все тапочки, была меньше 0,8, можем использовать приближенную оценку:
\[ P(расстраиваться) = P(все тапочки сгрызаются) = 1 - P(по крайней мере одна тапочка остается) \]
Эта вероятность можно оценить как:
\[ P(по крайней мере одна тапочка остается) \approx 1 - P(грызет все тапочки) = 1 - \frac{(7!)^2}{(2n)(2n-1)...(2n-6)} \]
Далее рассчитаем \( n \), чтобы \( P(расстраиваться) < 0.8 \). Это задача по комбинаторному анализу, и, подбирая \( n \), мы получим:
- Для \( n = 4 \): вероятность того, что он не сгрызет все тапочки, выше 0,8.
- Для \( n = 3 \): вероятно будет неподходящим вариантом.
Таким образом, единственным правильным решением будет покупать минимум 4 пары тапочек, чтобы с вероятностью менее 0,8 Патрик не расстраивался в течение целой недели.
