При посадке в самолёт выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имеется билет на одно из n мест. Первой в очереди стоит сумасшедшая старушка. Она вбегает в салон и…
При посадке в самолёт выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имеется билет на одно из n мест. Первой в очереди стоит сумасшедшая старушка. Она вбегает в салон и садится на случайное место (возможно, и на своё). Далее пассажиры по очереди занимают свои места, а в случае, если своё место уже занято, садятся случайным образом на одно из свободных мест. Какова вероятность того, что последний пассажир займёт своё место?
Это интересная задача, связанная с вероятностными событиями. Давайте разберёмся в ней подробнее.
Предположим, что на борту самолета n пассажиров и n мест. Первая пассажирка, сумасшедшая старушка, выбирает случайное место. Давайте рассмотрим возможные сценарии:
Если старушка сядет на своё место: тогда, все последующие пассажиры будут занимать свои места, и последний пассажир займет своё место. Это означает, что вероятность того, что последний пассажир сядет на своё место, равна 1.
Если старушка сядет на место какого-либо другого пассажира: например, если она села не на своё место, то один из пассажиров, чье место занято, теперь также будет вынужден сидеть на случайно выбранном месте. Этот пассажир может в следующий раз выбрать либо своё место, либо место старушки. В таком случае ничто не предотвратит старушку (или какого-либо другого пассажира) от выбора места, которое способно привести к тому, что последний пассажир не найдет своего места.
Таким образом, существует лишь два возможных исхода для старушки: либо она садится на своё место (вероятность 1/n), либо на чье-то другое (вероятность (n-1)/n).
Каждый раз, когда пассажир должен выбрать место, вероятность и дальше остаётся такой же, потому что мы можем свести все случаи к начальной ситуации: у нас снова есть возможность для старшей (или следующей) случайной выборки. В конце концов, оставшихся пассажиров будет оставаться лишь два: тот, кто сидит на своем месте, и тот, кого оно занимает. Таким образом, существует равновероятный случай, что последний пассажир займёт своей место.
И в конечном итоге, вероятность того, что последний пассажир займет своё место, равна 1/2.
Итак, ответ на ваш вопрос: вероятность того, что последний пассажир займет своё место, равна 50%.
