(2-3х)(3х+2)(5+3х)(2х-3)>0

Решить неравенство (2 - 3x)(3x + 2)(5 + 3x)(2x - 3) > 0 можно, следуя определенным шагам.

1. Найдем корни каждого множителя. У нас есть четыре множителя:

   • \(2 - 3x = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\)
   • \(3x + 2 = 0\) → \(x = -\frac{2}{3}\)
   • \(5 + 3x = 0\) → \(x = -\frac{5}{3}\)
   • \(2x - 3 = 0\) → \(x = \frac{3}{2}\)

   Это определит точки, в которых функция может менять знак.

2. Определим промежутки. Теперь у нас есть корни:

   • \(-\frac{5}{3}\), \(-\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{2}\).

   Эти значения разделяют числовую прямую на пять промежутков:

   • \((-\infty, -\frac{5}{3})\)
   • \((- \frac{5}{3}, -\frac{2}{3})\)
   • \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\)
   • \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\)
   • \((\frac{3}{2}, +\infty)\)

3. Определим знак произведения в каждом промежутке. Мы можем выбрать тестовое значение из каждого промежутка и подставить его в неравенство:

   • Для \((-\infty, -\frac{5}{3})\), например, \(x = -2\): все множители положительные → знак положительный.
   • Для \((- \frac{5}{3}, -\frac{2}{3})\), например, \(x = -1\): один множитель отрицательный → знак отрицательный.
   • Для \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\), например, \(x = 0\): два множителя отрицательные → знак положительный.
   • Для \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\), например, \(x = 1\): два множителя положительные, два отрицательные → знак отрицательный.
   • Для \((\frac{3}{2}, +\infty)\), например, \(x = 2\): все множители положительные → знак положительный.

4. Соберем результаты. Мы ищем промежутки, где произведение положительное:

   • \((-\infty, -\frac{5}{3})\)
   • \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\)
   • \((\frac{3}{2}, +\infty)\)

5. Ответ. В итоге, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \]

Если есть дополнительные вопросы по данной теме, буду рад помочь!