X⁴-17x²+16=0

Чтобы решить уравнение \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\), можно использовать замену переменной. Обозначим \(y = x^2\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[y^2 - 17y + 16 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 1\), \(b = -17\) и \(c = 16\). Подставим эти значения в формулу:

\[y = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}.\]

Сначала вычислим дискриминант:

\[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225. \]

Теперь можем найти корни:

\[ y = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2}. \]

Это дает два решения:

1. \(y_1 = \frac{32}{2} = 16,\)
2. \(y_2 = \frac{2}{2} = 1.\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):

1. Если \(y_1 = 16\), то \(x^2 = 16\) и \(x = \pm 4.\)
2. Если \(y_2 = 1\), то \(x^2 = 1\) и \(x = \pm 1.\)

Таким образом, окончательные решения уравнения \(x^4 - 17x^2 + 16 = 0\) таковы:

\[x = 4, -4, 1, -1.\]