(х^4+4):(х^2+2х+2)

Чтобы разделить многочлен \(x^4 + 4\) на \(x^2 + 2x + 2\), можно использовать деление многочленов. Давайте рассмотрим процесс более подробно.

1. Вначале запишем, что мы делим: \[(x^4 + 4) : (x^2 + 2x + 2).\]

2. Начнем с деления первого члена делимого на первый член делителя: \(x^4\) делим на \(x^2\), получается \(x^2\).

3. Умножим весь делитель на \(x^2\): \[x^2 \cdot (x^2 + 2x + 2) = x^4 + 2x^3 + 2x^2.\]

4. Вычтем полученное произведение из делимого: \[(x^4 + 4) - (x^4 + 2x^3 + 2x^2) = -2x^3 - 2x^2 + 4.\]

5. Теперь снова делим первый член полученного остатка на первый член делителя: \(-2x^3\) делим на \(x^2\), получается \(-2x\).

6. Умножаем делитель на \(-2x\): \[-2x \cdot (x^2 + 2x + 2) = -2x^3 - 4x^2 - 4x.\]

7. Вычтем это из остатка: \[(-2x^3 - 2x^2 + 4) - (-2x^3 - 4x^2 - 4x) = 2x^2 + 4x + 4.\]

8. Далее делим \(2x^2\) на \(x^2\), что дает нам \(2\).

9. Умножим делитель на \(2\): \[2 \cdot (x^2 + 2x + 2) = 2x^2 + 4x + 4.\]

10. Вычтем это из остатка: \[(2x^2 + 4x + 4) - (2x^2 + 4x + 4) = 0.\]

Теперь у нас остался 0, значит, деление завершилось. Ответом будет:

\[ x^2 - 2x + 2. \]

Таким образом, мы нашли, что:

\[ \frac{x^4 + 4}{x^2 + 2x + 2} = x^2 - 2x + 2. \]