Х1+2х2+3х3 = 5 3Х1+ Х2 +2х3 = 6 2х1+3х2 + х3 = 1 Реши уравнение матричным медотом

Для решения системы уравнений с помощью матричного метода мы используем метод Гаусса или матричное представление. Давайте запишем вашу систему уравнений в виде матричного уравнения \( AX = B \), где:

• \( A \) — это матрица коэффициентов,
• \( X \) — это вектор переменных,
• \( B \) — это вектор правых частей.

Ваша система уравнений:

1. \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \)
2. \( 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \)
3. \( 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \)

Это можно записать в матричном виде следующим образом:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Теперь решим уравнение \( AX = B \) методом Гаусса.

Шаг 1: Приведем матрицу \( A \) к верхнему треугольному виду путем элементарных преобразований.

Исходная матрица:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 3 & 1 & 2 & | & 6 \\ 2 & 3 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \]

Выразим нижние элементы матрицы через верхние, начнем с первого ряда. Чтобы обнулить элементы первого столбца второго и третьего уравнений, выполним следующие операции:

• Заменим второй ряд: \( R_2 = R_2 - 3R_1 \)
• Заменим третий ряд: \( R_3 = R_3 - 2R_1 \)

После применения этих операций мы получим:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & -5 & -7 & | & -9 \\ 0 & -1 & -5 & | & -9 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Теперь нужно устроить второй и третий ряд. Умножим второй ряд на \(-\frac{1}{5}\):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & \frac{7}{5} & | & \frac{9}{5} \\ 0 & -1 & -5 & | & -9 \end{pmatrix} \]

Теперь добавим второй ряд к третьему:

• Заменим третий ряд: \( R_3 = R_3 + R_2 \)

Получим следующую матрицу:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & \frac{7}{5} & | & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{18}{5} & | & -\frac{36}{5} \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Найдем значение \( x_3 \):

\[ -\frac{18}{5} x_3 = -\frac{36}{5} \implies x_3 = 2 \]

Шаг 4: Подставим \( x_3 \) во второй строке, чтобы найти \( x_2 \):

\[ x_2 + \frac{7}{5} \cdot 2 = \frac{9}{5} \implies x_2 + \frac{14}{5} = \frac{9}{5} \implies x_2 = \frac{9}{5} - \frac{14}{5} = -1 \]

Шаг 5: Подставим значения \( x_2 \) и \( x_3 \) в первое уравнение, чтобы найти \( x_1 \):

\[ x_1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 5 \implies x_1 - 2 + 6 = 5 \implies x_1 + 4 = 5 \implies x_1 = 1 \]

Итак, решение системы:

\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 2 \]

Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы по этому решению, пожалуйста, дайте знать!