Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3; 2) В(2; 3) С(-1;-2). Не находя координаты вершины D, найти: 1)уравнение стороны AD; 2)уравнение высоты BK, опущенной из…

Давайте разберем все вопросы по порядку, начиная с точки A(-3; 2), точки B(2; 3) и точки C(-1; -2) параллелограмма.

1) Уравнение стороны AD

Чтобы найти уравнение стороны AD, сначала найдем координаты точки D. Мы знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Для нахождения точки D, используем среднюю точку диагонали AC, которая равна:

\[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = \left( -2, 0 \right) \]

Теперь, зная, что диагонали BD и AC пересекаются в точке M, мы можем выразить координаты точки D через координаты B и M:

\[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \]

Отсюда получаем:

\[ -2 = \frac{2 + x_D}{2} \implies x_D = -6 \] \[ 0 = \frac{3 + y_D}{2} \implies y_D = -3 \]

Таким образом, координаты точки D (-6, -3).

Теперь можно найти уравнение стороны AD. Найдем наклон (k) линии AD:

\[ k = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{-3 - 2}{-6 + 3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \]

Теперь уравнение прямой можно выразить в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\):

\[ y - 2 = \frac{5}{3}(x + 3) \]

Упрощая, получим уравнение: \[ y = \frac{5}{3}x + 7 \]

2) Уравнение высоты BK

Высота BK будет перпендикулярна стороне AD. Поскольку наклон AD равен \(\frac{5}{3}\), наклон BK будет равен \(-\frac{3}{5}\).

Для нахождения уравнения BK через точку B(2, 3):

\[ y - 3 = -\frac{3}{5}(x - 2) \]

Упрощая это уравнение, получаем: \[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{6}{5} + 3 = -\frac{3}{5}x + \frac{21}{5} \]

3) Длина высоты BK

Чтобы найти длину высоты BK, необходимо найти расстояние от точки B до прямой AD. Используем формулу расстояния от точки до прямой:

\[ \text{Расстояние} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Приведем уравнение AD к стандартной форме \(Ax + By + C = 0\):

\[ \frac{5}{3}x - y + 7 = 0 \]

Затем, подставляем \(A = \frac{5}{3}\), \(B = -1\), \(C = 7\), и координаты \(B(2; 3)\):

\[ \text{Расстояние} = \frac{|\frac{5}{3}(2) - 3 + 7|}{\sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{| \frac{10}{3} - 3 + 7|}{\sqrt{\frac{25}{9} + 1}} = \frac{|\frac{10}{3} - \frac{9}{3} + \frac{21}{3}|}{\sqrt{\frac{34}{9}}} = \frac{|\frac{22}{3}|}{\frac{\sqrt{34}}{3}} = \frac{22}{\sqrt{34}} \]

Таким образом, высота BK равно \(\frac{22}{\sqrt{34}} \approx 3.77\).

4) Уравнение диагонали BD

Теперь найдем уравнение диагонали BD. Сначала находим наклон BD:

\[ k = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{-3 - 3}{-6 - 2} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4} \]

Уравнение прямой BD будет: \[ y - 3 = \frac{3}{4}(x - 2) \]

Упрощая, получаем: \[ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} \]

5) Тангенс угла между диагоналями

Рассмотрим тангенс угла между диагоналями:

\[ \tan \theta = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \]

где \(k_1\) — наклон BD, а \(k_2\) — наклон AC:

• Для диагонали AC: \[ k_2 = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - 2}{-1 + 3} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь подставим в формулу: \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{3}{4} - (-2)}{1 + \frac{3}{4} \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} + 2}{1 - \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3 + 8}{4}}{-\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{2}} \right| = \left| -\frac{22}{4} \right| = \frac{11}{2} \]

Общее уравнение найденных прямых

Итак, у нас есть следующие уравнения:

• AD: \(y = \frac{5}{3}x + 7\)
• BK: \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{21}{5}\)
• BD: \(y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}\)

Чертеж

На чертеже необходимо изобразить точки A, B, C и D, а также провести линии AD, BK и BD, чтобы наглядно продемонстрировать всё, что мы нашли.

Это даст вам полное представление о задачах и позволит лучше подготовиться к экзамену. Удачи!