(t²-2t)²-3=2(t²-2t)

Чтобы решить уравнение \((t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)\), начнем с упрощения и замены переменной для удобства. Обозначим \(x = t^2 - 2t\). Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

\[ x^2 - 3 = 2x \]

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы умеющегося уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -3\). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Это дает нам два значения:

1. \(x_1 = \frac{6}{2} = 3\)
2. \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь вернемся к переменной \(t\).

Сначала решим для \(x = 3\):

\[ t^2 - 2t = 3 \]

Переносим все члены на одну сторону:

\[ t^2 - 2t - 3 = 0 \]

Решим это уравнение, используя дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни будут:

\[ t = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Это дает:

1. \(t_1 = \frac{6}{2} = 3\)
2. \(t_2 = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь решим для \(x = -1\):

\[ t^2 - 2t = -1 \]

Снова переносим все на одну сторону:

\[ t^2 - 2t + 1 = 0 \]

Это можно решить как \((t-1)^2 = 0\), что дает:

\[ t = 1 \]

Итак, у нас есть три решения:

1. \(t = 3\)
2. \(t = -1\)
3. \(t = 1\)

Таким образом, окончательные решения уравнения \((t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)\) таковы: \(t = 3, -1, 1\).