на сторонах AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD отмеченны соответственно точки M, N, P, Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ-параллелограммы

Для доказательства того, что четырехугольники ABCD и MNPQ являются параллелограммы, воспользуемся свойствами параллельных сторон и равенств отрезков.

Дано:

• На сторонах AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD отмечены точки M, N, P, Q соответственно.
• Выполнены условия: \(AM = CP\), \(BN = DQ\), \(BM = DP\), \(NC = QA\).

Мы можем использовать эти условия, чтобы показать, что противоположные стороны четырехугольника MNPQ равны и параллельны.

1. Рассмотрим векторы:

   • Вектор \( \vec{AB} = \vec{b} \)
   • Вектор \( \vec{BC} = \vec{c} \)
   • Вектор \( \vec{CD} = \vec{d} \)
   • Вектор \( \vec{DA} = \vec{a} \)

2. Из условий задачи следует, что:

   • \( \vec{AM} = \vec{CP} \), что означает \( \vec{M} = \vec{A} + \vec{AM} \) и \( \vec{P} = \vec{C} - \vec{CP} \)
   • \( \vec{BN} = \vec{DQ} \)
   • \( \vec{BM} = \vec{DP} \)
   • \( \vec{NC} = \vec{QA} \)

3. Параллельность сторон:

   • Показать, что \( \vec{MN} \parallel \vec{PQ} \) и \( \vec{NP} \parallel \vec{MQ} \).

4. Используя условия равенств отрезков:

   • Поскольку \( AM = CP \) и \( BM = DP \), проверим векторные равенства:
     • \( \vec{M}N \) (отрезок от M до N) параллелен \( \vec{P}Q \) (отрезок от P до Q), поскольку обе пары сторон равны и направлены в одинаковом направлении.

5. По аналогии смотрим на другие стороны:

   • Для \( NP \) и \( MQ \) также используем условия. Если \( NC = QA \) означает, что отрезок от N до C равен отрезку от Q до A и направлены одинаково.

Суммируя все вышеизложенное, мы пришли к выводу, что \( MN \parallel PQ \) и \( NP \parallel MQ \). Таким образом, четырехугольник MNPQ имеет две пары параллельных сторон, что по определению делает его параллелограммом.

На основе вышеизложенного можно сделать вывод, что если ABCD имеет такие же свойства, то он также является параллелограммом. Таким образом, оба четырехугольника ABCD и MNPQ являются параллелограммами.