х/х²-1≥0

Чтобы решить неравенство \(\frac{x}{x^2 - 1} \geq 0\), начнем с его анализа.

1. Определим нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \(x = 0\)
   • Знаменатель: \(x^2 - 1 = 0\) приводит к \(x = 1\) и \(x = -1\).

2. Определим области, в которых выражение может быть положительным или отрицательным:

   • Области, которые стоит рассмотреть: \((-\infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).

3. Проверим знак неравенства в каждой из этих областей:

   • Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \(\frac{-2}{(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{4 - 1} = \frac{-2}{3} < 0\).
   • Для \(-1 < x < 0\) (например, \(x = -0.5\)): \(\frac{-0.5}{(-0.5)^2 - 1} = \frac{-0.5}{0.25 - 1} = \frac{-0.5}{-0.75} > 0\).
   • Для \(0 < x < 1\) (например, \(x = 0.5\)): \(\frac{0.5}{(0.5)^2 - 1} = \frac{0.5}{0.25 - 1} = \frac{0.5}{-0.75} < 0\).
   • Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(\frac{2}{(2)^2 - 1} = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3} > 0\).

4. Итоговые знаки:

   • \((-\infty, -1)\): отрицательное
   • \((-1, 0)\): положительное
   • \((0, 1)\): отрицательное
   • \((1, +\infty)\): положительное

5. Не забываем о нулях:

   • В точке \(x = 0\) выражение равно \(0\).
   • В точках \(x = -1\) и \(x = 1\) выражение неопределенно (то есть не включается).

6. Записываем решение: Учитывая, что нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, решениями являются: \[ x \in [-1, 0] \cup (1, +\infty) \]

Таким образом, неравенство \(\frac{x}{x^2 - 1} \geq 0\) имеет решение: \[ [-1, 0] \cup (1, +\infty) \]