Реши методом Крамера : 3X 1 + X 2 + 2X 3 =-5 2X 1 - X 2 + X 3 =0 3X 1 + 2X 2 + 4X 3 =-16

Чтобы решить систему уравнений методом Крамера, сначала запишем матрицу коэффициентов и определители.

Данная система уравнений выглядит следующим образом:

1. \(3X_1 + X_2 + 2X_3 = -5\)
2. \(2X_1 - X_2 + X_3 = 0\)
3. \(3X_1 + 2X_2 + 4X_3 = -16\)

Шаг 1: Записываем матрицу коэффициентов.

Матрица коэффициентов \(A\) будет:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Находим определитель матрицы \(A\) (\(D\)).

Чтобы найти определитель, используем формулу для 3x3 матрицы:

\[ D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

где \[ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \]

Подставляя наши значения:

\[ D = 3((-1) \cdot 4 - 1 \cdot 2) - 1(2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) + 2(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) \]

Теперь расчитаем это подробнее:

\[ D = 3(-4 - 2) - 1(8 - 3) + 2(4 + 3) \] \[ D = 3(-6) - 1(5) + 2(7) \] \[ D = -18 - 5 + 14 \] \[ D = -9 \]

Шаг 3: Находим определитель для \(X_1\), \(X_2\) и \(X_3\) (\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\)).

Для \(D_1\) (заменяем первый столбец значениями свободных членов):

\[ D_1 = \begin{vmatrix} -5 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ -16 & 2 & 4 \\ \end{vmatrix} \]

Расчитаем \(D_1\):

\[ D_1 = -5((-1) \cdot 4 - 1 \cdot 2) - 1(0 \cdot 4 - 1 \cdot (-16)) + 2(0 \cdot 2 - (-1) \cdot (-16)) \] \[ = -5(-4 - 2) - 1(0 + 16) + 2(0 - 16) \] \[ = -5(-6) - 16 - 32 \] \[ = 30 - 16 - 32 \] \[ = -18 \]

Для \(D_2\) (заменяем второй столбец):

\[ D_2 = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -16 & 4 \\ \end{vmatrix} \]

Расчет:

\[ D_2 = 3(0 \cdot 4 - 1 \cdot (-16)) - (-5)(2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) + 2(2 \cdot (-16) - 0 \cdot 3) \] \[ = 3(0 + 16) + 5(8 - 3) + 2(-32) \] \[ = 48 + 25 - 64 \] \[ = 9 \]

Для \(D_3\) (заменяем третий столбец):

\[ D_3 = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & -16 \\ \end{vmatrix} \]

Расчет:

\[ D_3 = 3((-1) \cdot (-16) - 0 \cdot 2) - 1(2 \cdot (-16) - 0 \cdot 3) + (-5)(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) \] \[ = 3(16) - 1(-32) - 5(4 + 3) \] \[ = 48 + 32 - 5(7) \] \[ = 48 + 32 - 35 \] \[ = 45 \]

Шаг 4: Находим значения \(X_1\), \(X_2\) и \(X_3\).

\[ X_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-18}{-9} = 2 \] \[ X_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{9}{-9} = -1 \] \[ X_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{45}{-9} = -5 \]

Ответ:

\[ X_1 = 2, \quad X_2 = -1, \quad X_3 = -5 \]

Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера: \(X_1 = 2\), \(X_2 = -1\), \(X_3 = -5\).