Освободитесь от иррациональности в знаменате дроби 2/ 5- корень 23

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{2}{5 - \sqrt{23}}\), мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для \(5 - \sqrt{23}\) — это \(5 + \sqrt{23}\).

Давайте умножим и упростим:

\[ \frac{2}{5 - \sqrt{23}} \cdot \frac{5 + \sqrt{23}}{5 + \sqrt{23}} = \frac{2(5 + \sqrt{23})}{(5 - \sqrt{23})(5 + \sqrt{23})} \]

В числителе:

\[ 2(5 + \sqrt{23}) = 10 + 2\sqrt{23} \]

В знаменателе мы используем формулу разности квадратов:

\[ (5 - \sqrt{23})(5 + \sqrt{23}) = 5^2 - (\sqrt{23})^2 = 25 - 23 = 2 \]

Теперь мы можем подставить эти значения в дробь:

\[ \frac{10 + 2\sqrt{23}}{2} \]

Теперь упростим дробь, разделив каждый член числителя на 2:

\[ \frac{10}{2} + \frac{2\sqrt{23}}{2} = 5 + \sqrt{23} \]

Таким образом, дробь \(\frac{2}{5 - \sqrt{23}}\) преобразуется в:

\[ 5 + \sqrt{23} \]

Теперь знаменатель стал рациональным!