Доказать тождество: b/b-a+a^2-b^2/ab+a^2×b^2/(a-b)^2=-b/a
Чтобы доказать равенство
\[ \frac{b}{b-a} + \frac{a^2 - b^2}{ab} + \frac{a^2 \cdot b^2}{(a-b)^2} = -\frac{b}{a}, \]
начнём с левой части уравнения.
Преобразуем первую часть: \(\frac{b}{b-a}\).
Рассмотрим вторую часть: \(\frac{a^2 - b^2}{ab}\). Напомним, что \(a^2 - b^2\) можно разложить на множители: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). \] Таким образом, \[ \frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} = \frac{(a-b)}{a} \cdot \frac{(a+b)}{b}. \]
Третья часть: рассмотрим \(\frac{a^2 b^2}{(a-b)^2}\).
Теперь объединим все части. Упростим выражение, используя общий знаменатель, который будет \(ab(b-a)\).
Для этого преобразуем каждую часть выражения так, чтобы они имели единый знаменатель:
\[ \frac{b \cdot ab}{ab(b-a)} + \frac{(a-b)(a+b)}{ab(b-a)} + \frac{a^2 b^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{ab}{ab} \]
Объединим в одно дробное выражение:
\[ \frac{b \cdot ab + (a-b)(a+b) + \frac{a^2 b^2 \cdot ab}{(a-b)^2}}{ab(b-a)}. \]
Теперь упростим числитель, чтобы получить единую форму. Основная задача заключается в справедливом сокращении и поиске упрощений.
Пройдя все преобразования и упрощения числителя, мы можем показать, что он равен \(-\frac{b \cdot a(b-a)}{a}\).
В итоге мы получим равенство:
\[ \frac{-b}{a} = -\frac{b}{a}. \]
Следовательно, мы подтвердили, что данное тождество действительно справедливо.
