решите неравенство 9-4х2\2х2+х+1 ≤0
Для решения неравенства \( 9 - 4x^2 + 2x^2 + x + 1 \le 0 \) сначала упростим его.
Соберём все подобные члены:
\[ 9 + 1 + (2x^2 - 4x^2) + x \le 0 \]
это упрощается до:
\[ 10 - 2x^2 + x \le 0 \]
Теперь перенесём все члены в одну сторону:
\[ -2x^2 + x + 10 \le 0 \]
Умножим на -1, не забывая поменять знак неравенства:
\[ 2x^2 - x - 10 \ge 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - x - 10 = 0 \) с помощью Фомула квадратного корня:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -10 \):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ = \frac{1 \pm 9}{4} \]
Итак, получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
- \( x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \)
Теперь мы знаем, что корни этой квадратичной функции — \( x_1 = \frac{5}{2} \) и \( x_2 = -2 \).
Далее нужно установить знак функции \( 2x^2 - x - 10 \) на интервалах, определённых этими корнями: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, \frac{5}{2}) \), \( (\frac{5}{2}, +\infty) \).
Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ 2(-3)^2 - (-3) - 10 = 18 + 3 - 10 = 11 \quad (\text{положительное}) \]
Для \( -2 < x < \frac{5}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 2(0)^2 - 0 - 10 = -10 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для \( x > \frac{5}{2} \) (например, \( x = 3 \)): \[ 2(3)^2 - 3 - 10 = 18 - 3 - 10 = 5 \quad (\text{положительное}) \]
Таким образом, функция больше или равна нулю на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [\frac{5}{2}, +\infty) \).
Итак, решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, -2] \cup \left[\frac{5}{2}, +\infty\right) \]
