Имеются выборочные данные (выборка 10%, механическая) о рабочих завода за ноябрь месяц текущего года № Стаж рабо- ты, лет Процент вы- полнения плана, % № Стаж рабо- ты, лет…

Для решения задачи начнем с расчета характеристик выборочного ряда распределения.

Данные выборки

Стаж работы (лет) и процент выполнения плана (в %):

1. 1 -> 80
2. 2 -> 85
3. 3 -> 105
4. 2 -> 92
5. 3 -> 100
6. 6 -> 95
7. 7 -> 102
8. 2 -> 120
9. 5 -> 109
10. 5 -> 108
11. 5 -> 104
12. 4 -> 103
13. 4 -> 104
14. 3 -> 102
15. 4 -> 105
16. 4 -> 106
17. 4 -> 110
18. 5 -> 110
19. 6 -> 112
20. 7 -> 116
21. 7 -> 110
22. 7 -> 120

Шаг 1: Вычисление средней арифметической

Суммируем проценты выполнения плана:

\[ \text{Сумма} = 80 + 85 + 105 + 92 + 100 + 95 + 102 + 120 + 109 + 108 + 104 + 103 + 104 + 102 + 105 + 106 + 110 + 110 + 112 + 116 + 110 + 120 = 2327 \]

Число элементов (n) = 22.

Теперь находим среднее арифметическое:

\[ \text{Средняя арифметическая} = \frac{\text{Сумма}}{n} = \frac{2327}{22} \approx 105,86 \]

Шаг 2: Вычисление дисперсии

Для дисперсии воспользуемся формулой:

\[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \]

Здесь \(x_i\) – каждое значение процентов выполнения, \(\bar{x}\) – среднее значение.

Сначала вычислим отклонения и квадраты отклонений:

1. \( (80 - 105,86)^2 = 664,6596 \)
2. \( (85 - 105,86)^2 = 459,0596 \)
3. \( (105 - 105,86)^2 = 0,7396 \)
4. \( (92 - 105,86)^2 = 193,6596 \)
5. \( (100 - 105,86)^2 = 34,6596 \)
6. \( (95 - 105,86)^2 = 119,6596 \)
7. \( (102 - 105,86)^2 = 15,6996 \)
8. \( (120 - 105,86)^2 = 203,2964 \)
9. \( (109 - 105,86)^2 = 9,8596 \)
10. \( (108 - 105,86)^2 = 4,5796 \)
11. \( (104 - 105,86)^2 = 3,4596 \)
12. \( (103 - 105,86)^2 = 8,1796 \)
13. \( (104 - 105,86)^2 = 3,4596 \)
14. \( (102 - 105,86)^2 = 15,6996 \)
15. \( (105 - 105,86)^2 = 0,7396 \)
16. \( (106 - 105,86)^2 = 0,0196 \)
17. \( (110 - 105,86)^2 = 16,5796 \)
18. \( (110 - 105,86)^2 = 16,5796 \)
19. \( (112 - 105,86)^2 = 37,4596 \)
20. \( (116 - 105,86)^2 = 104,6596 \)
21. \( (110 - 105,86)^2 = 16,5796 \)
22. \( (120 - 105,86)^2 = 202,8896 \)

Теперь суммируем:

\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 664,66 + 459,06 + 0,74 + 193,66 + 34,66 + 119,66 + 15,70 + 203,30 + 9,86 + 4,58 + 3,46 + 8,18 + 3,46 + 15,70 + 0,74 + 0,02 + 16,58 + 16,58 + 37,46 + 104,66 + 16,58 + 202,89 = 1874,32 \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D \approx \frac{1874,32}{22} \approx 85,16 \]

Шаг 3: Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (σ) – это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma \approx \sqrt{85,16} \approx 9,23 \]

Шаг 4: Коэффициент вариации

Коэффициент вариации (CV) вычисляется как:

\[ CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{x}} \right) \times 100\% \]

\[ CV \approx \left( \frac{9,23}{105,86} \right) \times 100\% \approx 8,71\% \]

Ошибка выборки и границы среднего

С вероятностью 0,954, ошибка выборки рассчитывается как:

\[ E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Где \(z \approx 1,96\) при уровне доверия 95,4%.

Теперь найдем ошибку выборки:

\[ E \approx 1,96 \cdot \frac{9,23}{\sqrt{22}} \approx 1,96 \cdot \frac{9,23}{4,69} \approx 1,96 \cdot 1,966 \approx 3,86 \]

Теперь определим границы, в которых будет находиться средний процент выполнения норм:

Нижняя граница:

\[ \bar{x} - E \approx 105,86 - 3,86 \approx 102,00 \]

Верхняя граница:

\[ \bar{x} + E \approx 105,86 + 3,86 \approx 109,72 \]

Итоговые результаты:

1. Средняя арифметическая: 105,86
2. Дисперсия: 85,16
3. Среднее квадратическое отклонение: 9,23
4. Коэффициент вариации: 8,71%
5. Границы среднего процента выполнения норм: [102,00; 109,72]

Если есть дополнительные вопросы или требуется пояснение по расчетам, не стесняйтесь обращаться!