3√5/9-1/2√20+3√180-4√125/4

Давайте решим выражение: \( \frac{3\sqrt{5}}{9} - \frac{1}{2\sqrt{20}} + 3\sqrt{180} - \frac{4\sqrt{125}}{4} \).

1. Начнем с упрощения каждого элемента:

   • \( \frac{3\sqrt{5}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
   • \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \), значит \( \frac{1}{2\sqrt{20}} = \frac{1}{2 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \).
   • \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \), таким образом \( 3\sqrt{180} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5} \).
   • \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \), поэтому \( \frac{4\sqrt{125}}{4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \).

2. Теперь перепишем это выражение с упрощенными элементами:

   \[ \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{4\sqrt{5}} + 18\sqrt{5} - 5\sqrt{5} \]

3. Объединим \( 18\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = 13\sqrt{5} \):

   \[ \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{4\sqrt{5}} + 13\sqrt{5} \]

4. Приведем к общему знаменателю \( 12\sqrt{5} \):

   • Для \( \frac{\sqrt{5}}{3} \) нужен знаменатель \( 12\): \[ \frac{\sqrt{5} \cdot 4}{12} = \frac{4\sqrt{5}}{12} \]
   • Для \( \frac{1}{4\sqrt{5}} \): \[ \frac{1 \cdot 3}{12\sqrt{5}} = \frac{3}{12\sqrt{5}} \]
   • Для \( 13\sqrt{5} \): \[ \frac{13\sqrt{5} \cdot 12}{12} = \frac{156\sqrt{5}}{12} \]

5. Теперь собираем всё вместе:

   \[ \frac{4\sqrt{5}}{12} - \frac{3}{12\sqrt{5}} + \frac{156\sqrt{5}}{12} \]

6. Объединяем дроби:

   \[ = \frac{(4\sqrt{5} + 156\sqrt{5}) - 3}{12\sqrt{5}} = \frac{160\sqrt{5} - 3}{12\sqrt{5}} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{160\sqrt{5} - 3}{12\sqrt{5}} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или потребуется углубленное объяснение, не стесняйтесь задавать!