Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b_4=54b 4 =54 , b_6=19{,}44b 6 =19,44 .
Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно сначала определить первый член и знаменатель прогрессии. Дано, что \( b_4 = 54 \) и \( b_6 = 19,44 \).
Формула для общего члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — номер члена.
Сначала запишем уравнения для \( b_4 \) и \( b_6 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 = 54 \] \[ b_6 = b_1 \cdot q^5 = 19,44 \]
Теперь мы можем выразить \( b_1 \) через \( q \) из первого уравнения: \[ b_1 = \frac{54}{q^3} \]
Подставим это значение \( b_1 \) во второе уравнение: \[ 19,44 = \frac{54}{q^3} \cdot q^5 \] Сократим \( q^3 \) в числителе и знаменателе: \[ 19,44 = 54 \cdot q^2 \]
Теперь выразим \( q^2 \): \[ q^2 = \frac{19,44}{54} \] Посчитаем это значение: \[ q^2 = 0,36 \quad \Rightarrow \quad q = \sqrt{0,36} = 0,6 \]
Теперь подставим значение \( q \) обратно, чтобы найти \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{54}{(0,6)^3} = \frac{54}{0,216} = 250 \]
Теперь у нас есть первый член \( b_1 = 250 \) и знаменатель \( q = 0,6 \). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{250}{1 - 0,6} = \frac{250}{0,4} = 625 \]
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( 625 \).
