Из 19 улиц города 3 из них идут параллейно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два регулировщика движения встали на два различных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице
Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем данное условие. У нас есть 19 улиц: 3 улицы, идущие с севера на юг, и 16 улиц, идущих с запада на восток. Регулировщики встали на перекрестках, образованных этими улицами.
Находим общее количество перекрестков: Поскольку любые две улицы разных направлений пересекаются, общее количество перекрестков можно вычислить, перемножив количество улиц с разными направлениями. У нас 3 улицы севера на юг и 16 улиц запада на восток, следовательно, количество перекрестков будет: \[ 3 \times 16 = 48 \]
Находим количество способов выбрать два перекрестка: Чтобы выбрать двух регулировщиков, мы можем выбрать любой из 48 перекрестков, и это можно сделать следующим образом: \[ C(48, 2) = \frac{48!}{2!(48-2)!} = \frac{48 \times 47}{2} = 1128 \] Это общее количество способов выбрать два перекрестка.
Находим количество перекрестков на одной улице: Теперь определим количество перекрестков на одной улице. Для каждой из 3 улиц с севера на юг будет 16 перекрестков (по одному с каждой из 16 улиц). Значит, для всех 3 улиц: \[ 3 \times 16 = 48 \] То есть, с одной улицы севера на юг, регулировщики могут находиться на любом из этих 16 перекрестков таким же образом.
Аналогично, для каждой из 16 улиц с запада на восток будет 3 перекрестка (по одному с каждой из 3 улиц). Соответственно, для всех 16 улиц: \[ 16 \times 3 = 48 \]
Но так как пересчёт двух случаев (на улице с севера на юг и на улице с запада на восток) приводит к дублированию, можем отследить количество различных пар:
Для двух регулировщиков на одной улице: это может быть либо берег с севера на юг, либо с запада на восток:
Если регулировщики находятся на одной из 3 улиц с севера на юг: Каждый из выбранных регулировщиков может быть на 16 перекрестках с другой улицей, что даёт \[ C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2} = 120 \]
Для улиц запада на восток: \[ C(3, 2) = 3 \]
Всего получается: \[ 3 \times 120 + 16 \times 3 = 360 + 48 = 408 \]
Находим вероятность: Теперь мы можем найти вероятность того, что оба регулировщика стоят на одной улице: \[ P = \frac{Количество \, пар \, регулировщиков \, на \, одной \, улице}{Общее \, количество \, пар} = \frac{408}{1128} \]
Упростим дробь: \[ P = \frac{34}{94} = \frac{17}{47} \]
Таким образом, вероятность того, что оба регулировщика стоят на одной улице, составляет \(\frac{17}{47}\).
