Докажите, что значение выражения 3 ^ n + 3 ^ (n + 1) + 3 ^ (n + 2) кратно 39 при n принадлежит N.
Рассмотрим выражение \(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}\) и упростим его. Мы можем вынести общий множитель \(3^n\):
\[ 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} = 3^n (1 + 3 + 3^2) = 3^n (1 + 3 + 9) = 3^n \cdot 13. \]
Теперь нам нужно показать, что это выражение делится на 39 при любом \(n \in \mathbb{N}\).
Заметим, что число 39 можно разложить на множители:
\[ 39 = 3 \cdot 13. \]
Так как мы уже получили, что \(3^n \cdot 13\), то делимость на 13 очевидна, так как 13 является множителем. Теперь проверим делимость на 3.
Для \(n \in \mathbb{N}\) (где \(n\) — натуральное число, то есть \(n \geq 1\)), \(3^n\) всегда делится на 3. Таким образом, произведение \(3^n \cdot 13\) также делится на 3.
Таким образом, мы имеем:
- \(3^n \cdot 13\) делится на 13,
- \(3^n \cdot 13\) делится на 3.
Следовательно, выражение \(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}\) делится и на 3, и на 13, а значит, оно делится на 39.
Таким образом, мы доказали, что выражение \(3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}\) кратно 39 при любом \(n \in \mathbb{N}\).
