В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС=4√15, sin BАС=0,25 Найдите высоту АН.

Для решения задачи используем данные: равнобедренный треугольник \( ABC \) с равными сторонами \( AC = BC = 4\sqrt{15} \) и синус угла \( \angle BAC = 0,25 \).

1. Для начала найдем величину угла \( \angle BAC \). Используя арксинус: \[ \angle BAC = \arcsin(0,25). \] Это дает нам угол \( \angle BAC \), который можно выразить в градусах или радианах в зависимости от предпочтений.

2. Далее найдем длину стороны \( AB \) используя теорему косинусов. В равнобедренном треугольнике: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC). \] Поскольку \( AC = BC \), формула упрощается: \[ AB^2 = 2 \cdot AC^2(1 - \cos(\angle BAC)). \]

3. Для нахождения \( \cos(\angle BAC) \) воспользуемся тригонометрической идентичностью: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. \] Это означает: \[ \cos(\angle BAC) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle BAC)} = \sqrt{1 - (0,25)^2} = \sqrt{1 - 0,0625} = \sqrt{0,9375} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}. \]

4. Подставляем \( AC = 4\sqrt{15} \) и \( \cos(\angle BAC) \) в формулу для нахождения \( AB \): \[ AB^2 = 2 \cdot (4\sqrt{15})^2(1 - \frac{\sqrt{15}}{4}). \] Рассчитаем: \[ AB^2 = 2 \cdot 240\left(1 - \frac{\sqrt{15}}{4}\right) = 480\left(1 - \frac{\sqrt{15}}{4}\right). \]

5. Теперь вычислим высоту \( AH \), где \( H \) — основание высоты, опущенной из точки \( A \) на сторону \( BC \). Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

   • Через основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH. \]
   • Через стороны и угол: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{15})^2 \cdot 0,25 = 120. \]

6. Приравняем оба выражения для площади: \[ \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{15} \cdot AH = 120. \] Из этого уравнения выразим \( AH \): \[ AH = \frac{120}{2 \cdot 4\sqrt{15}} = \frac{120}{8\sqrt{15}} = \frac{15}{\sqrt{15}} = \sqrt{15}. \]

Итак, высота \( AH = \sqrt{15} \).