Найти производную 25,26 и 27

Привет! Давай вместе разберем задачи и найдем производные функций.

Задача 25:

Найти производную функции \( y = ( \cos x + x^3 )^5 \).

1. Применяем правило цепочки. Если у нас функция \( u^5 \), где \( u = \cos x + x^3 \), то по правилу цепочки:

   \( y' = 5u^4 \cdot u' \).

2. Теперь найдем производную \( u' \): \( u = \cos x + x^3 \) \( u' = -\sin x + 3x^2 \).

3. Подставляем \( u \) и \( u' \) в выражение \( y' \): \( y' = 5(\cos x + x^3)^4 \cdot (-\sin x + 3x^2) \).

Итак, производная функции \( y = ( \cos x + x^3 )^5 \) равна \( y' = 5(\cos x + x^3)^4 \cdot (-\sin x + 3x^2) \).

Задача 26:

Найти производную функции \( y = e^{x^2 + 2x} \).

1. Применим правило цепочки. Производная функции \( e^u \), где \( u = x^2 + 2x \):

   \( y' = e^u \cdot u' \).

2. Найдем \( u' \): \( u = x^2 + 2x \) \( u' = 2x + 2 \).

3. Подставляем \( u \) и \( u' \) в выражение \( y' \): \( y' = e^{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) \).

Итак, производная функции \( y = e^{x^2 + 2x} \) равна \( y' = e^{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) \).

Задача 27:

Найти производную функции \( y = \ln (\sin x) \).

1. Применим правило цепочки к функции \( \ln u \), где \( u = \sin x \):

   \( y' = \frac{1}{u} \cdot u' \).

2. Найдем \( u' \): \( u = \sin x \) \( u' = \cos x \).

3. Подставляем \( u \) и \( u' \) в выражение \( y' \): \( y' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \).

4. Получаем: \( y' = \frac{\cos x}{\sin x} \).

Итак, производная функции \( y = \ln (\sin x) \) равна \( y' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \).

Надеюсь, моя помощь оказалась полезной! Если есть еще вопросы, пожалуйста, обращайся!