Отрезок, длинна которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Рассмотрим отрезок длиной \( a \), который разделён произвольной точкой на два отрезка. Обозначим точку разделения как \( P \), тогда отрезки будут иметь следующие длины:

• Первоначальный отрезок от начала до точки \( P \) имеет длину \( x \).
• Вторичный отрезок от точки \( P \) до конца отрезка имеет длину \( a - x \).

Теперь найдём середины этих двух отрезков.

1. Середина первого отрезка (от начала до точки \( P \)) будет находиться на расстоянии \( \frac{x}{2} \) от начала отрезка.
2. Середина второго отрезка (от точки \( P \) до конца) будет находиться на расстоянии \( P + \frac{a - x}{2} \) от начала отрезка. Поскольку точка \( P \) находится на расстоянии \( x \) от начала отрезка, середина второго отрезка будет находиться на расстоянии \( x + \frac{a - x}{2} \).

Теперь найдем расстояние между этими двумя серединами:

• Середина первого отрезка: \( M_1 = \frac{x}{2} \)
• Середина второго отрезка: \( M_2 = x + \frac{a - x}{2} \)

Расстояние между \( M_1 \) и \( M_2 \) будет:

\[ d = M_2 - M_1 = \left( x + \frac{a - x}{2} \right) - \frac{x}{2} \]

Упростим это выражение:

\[ d = x + \frac{a - x}{2} - \frac{x}{2} \] \[ d = x - \frac{x}{2} + \frac{a}{2} - \frac{x}{2} \] \[ d = \frac{x}{2} + \frac{a}{2} - \frac{x}{2} \] \[ d = \frac{a}{2} \]

Таким образом, расстояние между серединами двух отрезков равно \( \frac{a}{2} \).