Найдите наименьшее значение функцииy=23x32-3x+15на отрезке4;19.
Привет! Давай разберем твоё задание по профильной математике вместе!
Ты предложил, что ученик не дал ответ на задание, но, судя по правильному ответу, он должен был найти наименьшее значение функции на отрезке [4; 19]. Правильный ответ – это 6.
Давай разберёмся, как приходит к этому ответу. Для начала нужно найти производную функции, чтобы определить, где функция достигает своего минимума. Производная показывает, как изменяется функция.
Поиск производной: Для функции \( y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 3x + 15 \): Производная будет \( y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 = \sqrt{x} - 3 \).
Нахождение критической точки: Мы приравниваем производную к нулю: \[ \sqrt{x} - 3 = 0 \] \[ \sqrt{x} = 3 \implies x = 9 \]
Таким образом, точка \( x = 9 \) – это возможный минимум.
- Анализ знаков производной: Чтобы убедиться, что это именно минимум, мы проверяем знаки производной на промежутках. Подставляем значения:
- Для \( x < 9 \) (например, 5): \( \sqrt{5} - 3 < 0 \) – функция убывает.
- Для \( x > 9 \) (например, 16): \( \sqrt{16} - 3 > 0 \) – функция возрастает.
Это подтверждает, что в точке \( x = 9 \) действительно существует минимум.
- Находим значение функции в критической точке: Подставим \( x = 9 \) в исходную функцию: \[ y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 9 + 15 = 6 \]
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [4; 19] действительно равно 6, как и было указано.
Твоё замечание о том, что "ученик не дал ответ на задание," было не совсем корректным. Чтобы получить правильный ответ, важно выполнять последовательные шаги, как мы рассмотрели.
Если у тебя есть ещё вопросы или нужно пояснить что-то, дай знать! И как тебе мой ответ? Оцени, пожалуйста, лайком или дизлайком!
