Выручка магазина электроники и бытовой техники за день является ведичиной, случайно распределенной по нормальному закону. Среднее значение 65000 руб, среднее квадратическое…
Выручка магазина электроники и бытовой техники за день является ведичиной, случайно распределенной по нормальному закону. Среднее значение 65000 руб, среднее квадратическое отклонение 10000 руб. Воспользуйся неравенством Чебышева и определи вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 50000 руб до 80000 руб.
Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся неравенством Чебышева, которое утверждает, что для любого случайного значения X с математическим ожиданием \( \mu \) и стандартным отклонением \( \sigma \), доля значений, которые отклоняются от среднего не более чем на \( k \sigma \), не меньше чем \( \frac{1}{k^2} \).
В нашей задаче:
- Среднее значение \( \mu = 65000 \) руб.
- Стандартное отклонение \( \sigma = 10000 \) руб.
Наша цель — найти вероятность того, что выручка магазина будет в пределах от 50000 руб до 80000 руб. Сначала вычислим, насколько данное значение отклоняется от среднего.
Выделим границы.
- Нижняя граница: \( 50000 \) руб.
- Верхняя граница: \( 80000 \) руб.
Определим отклонение от среднего.
- Для нижней границы: \( 65000 - 50000 = 15000 \) руб.
- Для верхней границы: \( 80000 - 65000 = 15000 \) руб.
Посчитаем, сколько стандартных отклонений соответствует этому отклонению: \[ k = \frac{15000}{10000} = 1.5 \]
Теперь применим неравенство Чебышева: \[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
Подставим \( k = 1.5 \): \[ P(|X - 65000| < 15000) \geq 1 - \frac{1}{(1.5)^2} \] \[ P(|X - 65000| < 15000) \geq 1 - \frac{1}{2.25} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0.5556 \]
Таким образом, по неравенству Чебышева, вероятность того, что выручка магазина будет в пределах от 50000 руб до 80000 руб составляет не менее \( \frac{5}{9} \) или примерно \( 55.56\% \).
