Вычисли сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если b3 = 36, q = 3.

Чтобы вычислить сумму первых шести членов геометрической прогрессии, нам нужно знать первый член прогрессии \( b_1 \). Мы знаем, что третий член \( b_3 = 36 \) и процентное отношение (или знаменатель) прогрессии \( q = 3 \).

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Для третьего члена: \[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 \] Подставим известные значения: \[ 36 = b_1 \cdot 3^2 \] \[ 36 = b_1 \cdot 9 \] Теперь можем найти \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{36}{9} = 4 \]

Теперь, зная первый член \( b_1 = 4 \) и знаменатель \( q = 3 \), мы можем вычислить первые шесть членов прогрессии:

1. \( b_1 = 4 \)
2. \( b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 3 = 12 \)
3. \( b_3 = 36 \) (уже известно)
4. \( b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108 \)
5. \( b_5 = b_4 \cdot q = 108 \cdot 3 = 324 \)
6. \( b_6 = b_5 \cdot q = 324 \cdot 3 = 972 \)

Теперь вычислим сумму первых шести членов: \[ S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 \] \[ S_6 = 4 + 12 + 36 + 108 + 324 + 972 \]

Теперь сложим все значения: \[ S_6 = 4 + 12 = 16 \] \[ 16 + 36 = 52 \] \[ 52 + 108 = 160 \] \[ 160 + 324 = 484 \] \[ 484 + 972 = 1456 \]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( S_6 = 1456 \).