Реши задачи

Привет! Давай вместе порешаем задачи по нахождению области определения функций. Ниже я подробно распишу, как находить область определения для каждой функции.

Найдите области определения функции

1.1) \( y = 2 \sqrt{3x + 1} \)

Область определения корня квадратного — это только неотрицательные числа. \( 3x + 1 \geq 0 \) \( 3x \geq -1 \) \( x \geq -\frac{1}{3} \)

Ответ: \( x \geq -\frac{1}{3} \)

1.2) \( y = \frac{8 - 2x}{3} \)

Здесь нет ограничений, так как деления на ноль и корней нет.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.3) \( y = -2x + \frac{1}{x - 2} \)

Здесь знаменатель не должен быть равен нулю. \( x - 2 \neq 0 \) \( x \neq 2 \)

Ответ: \( x \neq 2 \)

1.4) \( y = \frac{1}{x^2 - 2x + 3} \)

Определим, когда знаменатель не равен нулю. Для этого решим квадратное уравнение. \( x^2 - 2x + 3 \neq 0 \) Решение уравнения: дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \) Так как дискриминант отрицательный, корней нет и знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.5) \( y = \sqrt{19 + x} \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. \( 19 + x \geq 0 \) \( x \geq -19 \)

Ответ: \( x \geq -19 \)

1.6) \( y = 5x - 0,9 \)

Здесь нет никаких ограничений.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.7) \( y = -1,4x + 13 \)

Здесь также нет ограничений.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.8) \( y = \sqrt{3x^2 + 4,2} \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. \( 3x^2 + 4,2 \geq 0 \) Так как \( 3x^2 \geq 0 \) для любых \( x \), то неравенство всегда истинно.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.9) \( y = \frac{1}{3 + \frac{x}{x^2 + 2}} \)

Знаменатель выражения не должен быть равен нулю. \( 3 + \frac{x}{x^2 + 2} \neq 0 \) Для дроби \( \frac{x}{x^2 + 2} \) знаменатель всегда положителен, значит это всегда истинно.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.10) \( y = \frac{7 - x}{2x - 3} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю. \( 2x - 3 \neq 0 \) \( 2x \neq 3 \) \( x \neq \frac{3}{2} \)

Ответ: \( x \neq \frac{3}{2} \)

1.11) \( y = \frac{9}{5x^2 + 6} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю. \( 5x^2 + 6 \neq 0 \) Так как \( 5x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), итог неравенства выполняется всегда.

Ответ: \( x \in \mathbb{R} \)

1.12) \( y = \frac{5 - 2x}{x^2 + x - 12} \)

Определим, когда знаменатель равен нулю. \( x^2 + x - 12 = 0 \) Решим это квадратное уравнение: \( D = 1 + 48 = 49 \) \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \) \( x_1 = 3 \) \( x_2 = -4 \)

Ответ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -4 \)

1.13) \( y = \sqrt{x - 23} \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. \( x - 23 \geq 0 \) \( x \geq 23 \)

Ответ: \( x \geq 23 \)

1.14) \( y = \sqrt{10 - x} \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. \( 10 - x \geq 0 \) \( x \leq 10 \)

Ответ: \( x \leq 10 \)

Надеюсь, это поможет тебе справиться с заданиями, если что-то нужно будет пояснить, не стесняйся спрашивать!