Два пешехода движутся со скоростями υ1 и υ2 под углом α друг к другу. Определите скорость второго пешехода относительно первого.
Чтобы определить скорость второго пешехода относительно первого, мы можем воспользоваться векторным представлением скорости. Пусть:
- \( \mathbf{v}_1 \) — скорость первого пешехода, величиной \( \nu_1 \).
- \( \mathbf{v}_2 \) — скорость второго пешехода, величиной \( \nu_2 \).
- Угол \( \alpha \) между направлениями их движения.
Скорость второго пешехода относительно первого можно найти по формуле:
\[ \mathbf{v}_{21} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 \]
Для нахождения значения этой скорости в векторной форме мы представим каждую скорость в виде компонент:
\[ \mathbf{v}_1 = \nu_1 \begin{pmatrix} \cos(0) \\ \sin(0) \end{pmatrix} = \nu_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \nu_1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{v}_2 = \nu_2 \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \nu_2 \cos(\alpha) \\ \nu_2 \sin(\alpha) \end{pmatrix} \]
Теперь можем вычислить скорость второго пешехода относительно первого:
\[ \mathbf{v}_{21} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \nu_2 \cos(\alpha) - \nu_1 \\ \nu_2 \sin(\alpha) \end{pmatrix} \]
Теперь вычисляем модуль этой вектора:
\[ |\mathbf{v}_{21}| = \sqrt{(\nu_2 \cos(\alpha) - \nu_1)^2 + (\nu_2 \sin(\alpha))^2} \]
Раскрываем скобки:
\[ = \sqrt{(\nu_2^2 \cos^2(\alpha) - 2\nu_1 \nu_2 \cos(\alpha) + \nu_1^2) + \nu_2^2 \sin^2(\alpha)} \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ = \sqrt{\nu_2^2 (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2\nu_1 \nu_2 \cos(\alpha) + \nu_1^2} \]
Поскольку \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \):
\[ = \sqrt{\nu_2^2 - 2\nu_1 \nu_2 \cos(\alpha) + \nu_1^2} \]
Таким образом, скорость второго пешехода относительно первого равна:
\[ |\mathbf{v}_{21}| = \sqrt{\nu_1^2 + \nu_2^2 - 2\nu_1\nu_2 \cos(\alpha)} \]
Эта формула позволяет вычислить скорость второго пешехода относительно первого, учитывая их скорости и угол между направлениями их движения.
