2²x+4×2x-15=0

Чтобы решить уравнение \(2^{2x} + 4 \times 2^x - 15 = 0\), начнём с преобразования выражения.

1. Обnotice, что \(4\) можно записать как \(2^2\). Таким образом, \(4 \times 2^x = 2^2 \times 2^x = 2^{x+2}\).

2. Введём подстановку: пусть \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 + 4y - 15 = 0 \]

3. Теперь это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -15\).

4. Подставим значения в формулу: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{2} \] \[ y = -2 \pm \sqrt{19} \]

5. Теперь у нас есть два решения для \(y\): \[ y_1 = -2 + \sqrt{19} \quad и \quad y_2 = -2 - \sqrt{19} \]

6. Так как \(y = 2^x\) всегда положительно, нас интересует только \(y_1 = -2 + \sqrt{19}\), поскольку \(y_2\) отрицательно.

7. Теперь найдем значение \(x\): \[ 2^x = -2 + \sqrt{19} \] \[ x = \log_2(-2 + \sqrt{19}) \]

Это и есть решение уравнения. Таким образом, ответ: \[ x = \log_2(-2 + \sqrt{19}) \]