Найти объем тетраэдра с вершинами: A(2;2;2), B(-3;2;4), C(-1;-1;3), D(5;-1;1).

Чтобы найти объем тетраэдра с заданными вершинами A(2, 2, 2), B(-3, 2, 4), C(-1, -1, 3) и D(5, -1, 1), можно использовать формулу для объема тетраэдра, который определяется координатами его вершин:

\[ V = \frac{1}{6} | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) | \]

где \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \) — это векторы, основанные на координатах вершин.

Сначала определим векторы:

• \( \vec{AB} = B - A = (-3 - 2, 2 - 2, 4 - 2) = (-5, 0, 2) \)
• \( \vec{AC} = C - A = (-1 - 2, -1 - 2, 3 - 2) = (-3, -3, 1) \)
• \( \vec{AD} = D - A = (5 - 2, -1 - 2, 1 - 2) = (3, -3, -1) \)

Теперь найдем векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AD} \):

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -3 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \end{vmatrix} \]

При вычислении определителя получаем:

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \hat{i}((-3) \cdot (-1) - (1) \cdot (-3)) - \hat{j}((-3) \cdot (-1) - (1) \cdot 3) + \hat{k}((-3) \cdot (-3) - (-3) \cdot 3) \]

Выполнив вычисления, получаем:

\[ = \hat{i}(3 + 3) - \hat{j}(3 - 3) + \hat{k}(9 - (-9)) \] \[ = 6\hat{i} + 0\hat{j} + 18\hat{k} \]

Таким образом, \( \vec{AC} \times \vec{AD} = (6, 0, 18) \).

Теперь найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \):

\[ \vec{AB} \cdot (6, 0, 18) = (-5, 0, 2) \cdot (6, 0, 18) = -5 \cdot 6 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 18 = -30 + 36 = 6 \]

Теперь можем найти объем тетраэдра:

\[ V = \frac{1}{6} |6| = 1 \]

Таким образом, объем тетраэдра равен \( 1 \) кубическому единице.