при каких значениях x имеет смысл выражения √(x-8) (x+4)

Чтобы определить, при каких значениях \( x \) имеет смысл выражение \( \sqrt{(x-8)(x+4)} \), необходимо проанализировать, когда подкоренное выражение неотрицательно, так как корень квадратный определен только для неотрицательных чисел.

Начнем с условия, что произведение \( (x-8)(x+4) \) должно быть больше или равно нулю:

1. Найдем нули выражения:

   • \( x - 8 = 0 \) дает \( x = 8 \).
   • \( x + 4 = 0 \) дает \( x = -4 \).

2. Теперь можно определить интервалы, на которых произведение положительно или равно нулю. У нас есть три интервала, которые нужно проверить:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( [-4, 8] \)
   • \( (8, +\infty) \)

3. Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала \( (-\infty, -4) \) возьмем точку \( x = -5 \): \[ (-5 - 8)(-5 + 4) = (-13)(-1) = 13 > 0 \]

   • Для интервала \( [-4, 8] \) возьмем точку \( x = 0 \): \[ (0 - 8)(0 + 4) = (-8)(4) = -32 < 0 \]

   • Для интервала \( (8, +\infty) \) возьмем точку \( x = 9 \): \[ (9 - 8)(9 + 4) = (1)(13) = 13 > 0 \]

4. Теперь можем выделить интервалы, где произведение неотрицательно:

   • Положительно в интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (8, +\infty) \).
   • Равно нулю при \( x = -4 \) и \( x = 8 \).

Итак, выражение \( \sqrt{(x-8)(x+4)} \) имеет смысл при \( x \leq -4 \) и при \( x \geq 8 \).