3x^2+7x-6>0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 + 7x - 6 > 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(3x^2 + 7x - 6 = 0\). Для этого используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = -6\). Подставим значения:
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \]
Теперь находим корни уравнения с помощью формул:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = -3\). Эти корни разделяют числовую прямую на три промежутка:
- \((- \infty, -3)\)
- \((-3, \frac{2}{3})\)
- \((\frac{2}{3}, +\infty)\)
Теперь нам нужно проверить знак выражения \(3x^2 + 7x - 6\) в каждом из этих промежутков.
Для промежутка \((- \infty, -3)\), например, возьмем \(x = -4\): \[ 3(-4)^2 + 7(-4) - 6 = 48 - 28 - 6 = 14 > 0 \] Значит, в этом промежутке неравенство выполняется.
Для промежутка \((-3, \frac{2}{3})\), например, возьмем \(x = 0\): \[ 3(0)^2 + 7(0) - 6 = -6 < 0 \] В этом промежутке неравенство не выполняется.
Для промежутка \((\frac{2}{3}, +\infty)\), например, возьмем \(x = 1\): \[ 3(1)^2 + 7(1) - 6 = 3 + 7 - 6 = 4 > 0 \] Здесь неравенство также выполняется.
Теперь можем записать ответ:
Неравенство \(3x^2 + 7x - 6 > 0\) верно для промежутков: \[ (-\infty, -3) \cup \left(\frac{2}{3}, +\infty\right) \]
Это означает, что для значений \(x\) в этих интервалах наше неравенство выполняется.
