5x^2-8x+3>0
Чтобы решить неравенство \(5x^2 - 8x + 3 > 0\), давайте начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(5x^2 - 8x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта.
Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 3\). Подставим значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \]
Поскольку дискриминант положителен (\(D > 0\)), уравнение имеет два различных корня. Найдем корни с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Таким образом, корни уравнения равны \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{3}{5}\).
- Теперь нам нужно определить знаки выражения \(5x^2 - 8x + 3\) на интервалах, заданных корнями:
- \( (-\infty, \frac{3}{5}) \)
- \( \left(\frac{3}{5}, 1\right) \)
- \( (1, +\infty) \)
- Выбери тестовую точку из каждого интервала и подставь ее в неравенство:
Для интервала \((- \infty, \frac{3}{5})\), например, \(x = 0\): \[ 5(0)^2 - 8(0) + 3 = 3 > 0 \quad \text{(верно)} \]
Для интервала \(\left(\frac{3}{5}, 1\right)\), например, \(x = 0.8\): \[ 5(0.8)^2 - 8(0.8) + 3 = 5(0.64) - 6.4 + 3 = 3.2 - 6.4 + 3 = -0.2 < 0 \quad \text{(неверно)} \]
Для интервала \( (1, +\infty)\), например, \(x = 2\): \[ 5(2)^2 - 8(2) + 3 = 20 - 16 + 3 = 7 > 0 \quad \text{(верно)} \]
Таким образом, неравенство \(5x^2 - 8x + 3 > 0\) выполняется на интервалах: \[ (-\infty, \frac{3}{5}) \cup (1, +\infty) \]
В заключение, ответ на неравенство: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{5}) \cup (1, +\infty) \]
