Пользуясь тем, что 1,7<√3<1,8 и 2,2<√5<2,3 оцените: а) √20-√5 б) √15

Чтобы оценить выражения, используя данные неравенства, начнем с того, что √20 и √15 можно выразить через корни √5 и √3.

а) Для оценки \( \sqrt{20} - \sqrt{5} \): Мы знаем, что \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \). Теперь мы можем использовать оценку для \( \sqrt{5} \): \[ 2,2 < \sqrt{5} < 2,3 \] Умножим неравенства на 2: \[ 2 \cdot 2,2 < 2\sqrt{5} < 2 \cdot 2,3 \] Это дает: \[ 4,4 < \sqrt{20} < 4,6 \] Теперь мы можем вычесть \( \sqrt{5} \) из этого неравенства: \[ 4,4 - \sqrt{5} < \sqrt{20} - \sqrt{5} < 4,6 - \sqrt{5} \] Заменим \( \sqrt{5} \) своими оценками:

1. Для нижней границы: \[ 4,4 - 2,3 < \sqrt{20} - \sqrt{5} \Rightarrow 2,1 < \sqrt{20} - \sqrt{5} \]
2. Для верхней границы: \[ 4,6 - 2,2 < \sqrt{20} - \sqrt{5} \Rightarrow 2,4 < \sqrt{20} - \sqrt{5} \] Таким образом, мы имеем: \[ 2,1 < \sqrt{20} - \sqrt{5} < 2,4 \]

б) Теперь оценим \( \sqrt{15} \): Можно выразить \( \sqrt{15} \) следующим образом: \[ \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} \] Используя известные неравенства: \[ 1,7 < \sqrt{3} < 1,8 \] и \[ 2,2 < \sqrt{5} < 2,3 \] Умножим эти неравенства: \[ 1,7 \cdot 2,2 < \sqrt{15} < 1,8 \cdot 2,3 \] Посчитаем произведения: \[ 1,7 \cdot 2,2 = 3,74 \] \[ 1,8 \cdot 2,3 = 4,14 \] Таким образом, получаем: \[ 3,74 < \sqrt{15} < 4,14 \]

В итоге, мы оценили оба выражения: а) \( 2,1 < \sqrt{20} - \sqrt{5} < 2,4 \) б) \( 3,74 < \sqrt{15} < 4,14 \)